使用梯度下降法实现多项式回归

实验目的

本实验旨在通过梯度下降法实现多项式回归，探究不同阶数的多项式模型对同一组数据的拟合效果，并分析样本数量对模型拟合结果的影响。

实验材料与方法

数据准备

1. 生成训练样本：我们首先生成了20个训练样本，其中自变量$X$服从均值为0，方差为1的标准正态分布。因变量$Y$由下述多项式关系加上均值为0，方差为1的误差项e_r​构成： Y=5+4X+3X²+2X³+e_r​​
2. 数据可视化：使用Matplotlib库绘制了生成的数据点。

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置随机种子以保证实验可重复性
np.random.seed(0)

# 生成20个训练样本
n_samples = 20
X = np.random.normal(0, 1, n_samples)
e_r = np.random.normal(0, 1, n_samples)  # 误差项

# 计算Y值
Y = 5 + 4 * X + 3 * X**2 + 2 * X**3 + e_r

# 使用matplotlib显示生成的数据
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.title('Generated Data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

模型定义

1. 定义多项式回归模型：我们定义了一个MultinomialModel类，该类接受训练数据作为输入，并能够返回多项式模型的参数。类内部包括构造设计矩阵的方法、拟合数据的方法（使用梯度下降法）以及预测方法。

代码

class MultinomialModel:
    def __init__(self, degree):
        self.degree = degree
        self.coefficients = None
    
    def _design_matrix(self, X):
        """构造设计矩阵"""
        n_samples = len(X)
        design_matrix = np.ones((n_samples, self.degree + 1))
        for i in range(1, self.degree + 1):
            design_matrix[:, i] = X ** i
        return design_matrix
    
    def fit(self, X, Y, learning_rate=0.01, iterations=1000):
        """使用梯度下降法来拟合模型"""
        n_samples = len(X)
        self.coefficients = np.zeros(self.degree + 1)  # 初始化系数
        
        # 构造设计矩阵
        X_design = self._design_matrix(X)
        
        for _ in range(iterations):
            # 预测
            predictions = np.dot(X_design, self.coefficients)
            
            # 损失函数的导数
            gradient = 2 / n_samples * np.dot(X_design.T, predictions - Y)
            
            # 更新系数
            self.coefficients -= learning_rate * gradient
    
    def predict(self, X):
        """基于学习到的模型预测新的数据点"""
        X_design = self._design_matrix(X)
        return np.dot(X_design, self.coefficients)

# 使用上述定义的类
degree = 3  # 设定多项式的阶数
model = MultinomialModel(degree)

# 拟合数据
model.fit(X, Y)

# 预测
Y_pred = model.predict(X)

# 可视化拟合结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.plot(X, Y_pred, color='red', label='Fitted curve')
plt.title('Polynomial Regression Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

模型拟合与结果展示

1. 模型训练与预测：对于设定的不同阶数的多项式模型，使用梯度下降法进行训练，并预测数据。
2. 结果可视化：在同一张图表中，绘制了不同阶数多项式模型的拟合曲线，同时保留原始数据点的散点图。

代码

# 继续使用之前定义的MultinomialModel类

# 使用上述定义的类
degree = 3  # 设定多项式的阶数
model = MultinomialModel(degree)

# 拟合数据
model.fit(X, Y)

# 预测
Y_pred = model.predict(X)

# 创建一个从X最小值到最大值的线性空间，用于绘制平滑的拟合曲线
X_fit = np.linspace(np.min(X), np.max(X), 100)
Y_fit = model.predict(X_fit)

# 可视化拟合结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.plot(X_fit, Y_fit, color='red', label='Fitted curve', linewidth=2)
plt.title(f'Polynomial Regression Fit (Degree {degree})')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


# 定义不同的多项式阶数
degrees = [1, 2, 3, 4, 5]

# 创建一个新的图形
plt.figure(figsize=(10, 8))

# 对于每个多项式阶数，拟合并绘制曲线
for degree in degrees:
    model = MultinomialModel(degree)
    model.fit(X, Y)
    
    # 创建一个从X最小值到最大值的线性空间，用于绘制平滑的拟合曲线
    X_fit = np.linspace(np.min(X), np.max(X), 100)
    Y_fit = model.predict(X_fit)
    
    plt.plot(X_fit, Y_fit, label=f'Degree {degree}')

# 绘制实际的数据点
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')

# 设置图例和其他细节
plt.title('Polynomial Fits of Different Degrees')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

样本数量影响分析

1. 增加样本数量：将样本数量从20增加到100，并重复以上步骤，观察模型拟合效果的变化。

代码

# 生成100个训练样本
n_samples = 100
X = np.random.normal(0, 1, n_samples)
e_r = np.random.normal(0, 1, n_samples)  # 误差项

# 计算Y值
Y = 5 + 4 * X + 3 * X**2 + 2 * X**3 + e_r

# 使用matplotlib显示生成的数据
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.title('Generated Data with 100 samples')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 定义不同的多项式阶数
degrees = [1, 2, 3, 4, 5]

# 创建一个新的图形
plt.figure(figsize=(10, 8))

# 对于每个多项式阶数，拟合并绘制曲线
for degree in degrees:
    model = MultinomialModel(degree)
    model.fit(X, Y)
    
    # 创建一个从X最小值到最大值的线性空间，用于绘制平滑的拟合曲线
    X_fit = np.linspace(np.min(X), np.max(X), 100)
    Y_fit = model.predict(X_fit)
    
    plt.plot(X_fit, Y_fit, label=f'Degree {degree}')

# 绘制实际的数据点
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')

# 设置图例和其他细节
plt.title('Polynomial Fits of Different Degrees with 100 samples')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

实验结果与讨论

结果展示

• 在初始阶段，我们观察到了不同阶数多项式模型对20个样本数据的拟合情况。随着多项式阶数的增加，模型逐渐从欠拟合状态转变为可能的过拟合状态，特别是在高阶数时，模型试图更紧密地跟随数据点的趋势。
• 当样本数量增加到100时，模型的表现变得更加稳定。高阶多项式模型虽然仍表现出一定的复杂度，但由于有更多的数据支持，过拟合的风险有所减小。模型能够更好地捕捉到数据的真实趋势。

讨论

• 模型复杂度与拟合效果：随着多项式阶数的提高，模型的复杂度增加，这使得模型能够更好地逼近训练数据。然而，过高阶数也可能导致过拟合，即模型在训练数据上表现优异但在未知数据上表现不佳。
• 样本数量的影响：增加样本数量有助于提高模型的泛化能力。更多的样本意味着模型可以学习到更多样化的特征，从而减少过拟合的风险。

结论

本次实验展示了如何使用梯度下降法实现多项式回归，并探讨了不同阶数及样本数量对模型拟合结果的影响。实验结果表明，在选择合适的多项式阶数以及确保有足够的训练样本的情况下，多项式回归模型可以有效地拟合非线性数据。

附录：完整代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置随机种子以保证实验可重复性
np.random.seed(0)

# 生成20个训练样本
n_samples = 20
X = np.random.normal(0, 1, n_samples)
e_r = np.random.normal(0, 1, n_samples)  # 误差项

# 计算Y值
Y = 5 + 4 * X + 3 * X**2 + 2 * X**3 + e_r

# 使用matplotlib显示生成的数据
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.title('Generated Data')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

class MultinomialModel:
    def __init__(self, degree):
        self.degree = degree
        self.coefficients = None
    
    def _design_matrix(self, X):
        """构造设计矩阵"""
        n_samples = len(X)
        design_matrix = np.ones((n_samples, self.degree + 1))
        for i in range(1, self.degree + 1):
            design_matrix[:, i] = X ** i
        return design_matrix
    
    def fit(self, X, Y, learning_rate=0.01, iterations=1000):
        """使用梯度下降法来拟合模型"""
        n_samples = len(X)
        self.coefficients = np.zeros(self.degree + 1)  # 初始化系数
        
        # 构造设计矩阵
        X_design = self._design_matrix(X)
        
        for _ in range(iterations):
            # 预测
            predictions = np.dot(X_design, self.coefficients)
            
            # 损失函数的导数
            gradient = 2 / n_samples * np.dot(X_design.T, predictions - Y)
            
            # 更新系数
            self.coefficients -= learning_rate * gradient
    
    def predict(self, X):
        """基于学习到的模型预测新的数据点"""
        X_design = self._design_matrix(X)
        return np.dot(X_design, self.coefficients)

# 使用上述定义的类
degree = 3  # 设定多项式的阶数
model = MultinomialModel(degree)

# 拟合数据
model.fit(X, Y)

# 预测
Y_pred = model.predict(X)

# 可视化拟合结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.plot(X, Y_pred, color='red', label='Fitted curve')
plt.title('Polynomial Regression Fit')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 继续使用之前定义的MultinomialModel类

# 使用上述定义的类
degree = 3  # 设定多项式的阶数
model = MultinomialModel(degree)

# 拟合数据
model.fit(X, Y)

# 预测
Y_pred = model.predict(X)

# 创建一个从X最小值到最大值的线性空间，用于绘制平滑的拟合曲线
X_fit = np.linspace(np.min(X), np.max(X), 100)
Y_fit = model.predict(X_fit)

# 可视化拟合结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.plot(X_fit, Y_fit, color='red', label='Fitted curve', linewidth=2)
plt.title(f'Polynomial Regression Fit (Degree {degree})')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 定义不同的多项式阶数
degrees = [1, 2, 3, 4, 5]

# 创建一个新的图形
plt.figure(figsize=(10, 8))

# 对于每个多项式阶数，拟合并绘制曲线
for degree in degrees:
    model = MultinomialModel(degree)
    model.fit(X, Y)
    
    # 创建一个从X最小值到最大值的线性空间，用于绘制平滑的拟合曲线
    X_fit = np.linspace(np.min(X), np.max(X), 100)
    Y_fit = model.predict(X_fit)
    
    plt.plot(X_fit, Y_fit, label=f'Degree {degree}')

# 绘制实际的数据点
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')

# 设置图例和其他细节
plt.title('Polynomial Fits of Different Degrees')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 生成100个训练样本
n_samples = 100
X = np.random.normal(0, 1, n_samples)
e_r = np.random.normal(0, 1, n_samples)  # 误差项

# 计算Y值
Y = 5 + 4 * X + 3 * X**2 + 2 * X**3 + e_r

# 使用matplotlib显示生成的数据
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')
plt.title('Generated Data with 100 samples')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 定义不同的多项式阶数
degrees = [1, 2, 3, 4, 5]

# 创建一个新的图形
plt.figure(figsize=(10, 8))

# 对于每个多项式阶数，拟合并绘制曲线
for degree in degrees:
    model = MultinomialModel(degree)
    model.fit(X, Y)
    
    # 创建一个从X最小值到最大值的线性空间，用于绘制平滑的拟合曲线
    X_fit = np.linspace(np.min(X), np.max(X), 100)
    Y_fit = model.predict(X_fit)
    
    plt.plot(X_fit, Y_fit, label=f'Degree {degree}')

# 绘制实际的数据点
plt.scatter(X, Y, color='blue', label='Actual data')

# 设置图例和其他细节
plt.title('Polynomial Fits of Different Degrees with 100 samples')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

实验中使用的代码主要包括以下几个部分：

1. 数据生成：使用numpy库生成服从特定分布的训练样本。
2. 模型定义与实现：定义MultinomialModel类，并实现梯度下降法训练模型的功能。
3. 结果可视化：使用matplotlib库绘制数据点和拟合曲线。
4. 分析样本数量的影响：增加样本数量，并观察拟合结果的变化。