二叉搜索树算法实现原理

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种节点有序排列的二叉树数据结构。它具有以下性质：

• 每个节点最多有两个子节点。
• 对于每个节点，其左子树的所有节点值都小于该节点值，其右子树的所有节点值都大于该节点值。

实现基本步骤和代码示例

步骤

• 定义节点类：包含节点值、左子节点和右子节点。
• 插入节点：递归或迭代地将新值插入到树中合适的位置。
• 搜索节点：根据节点值在树中查找特定值。
• 删除节点：从树中删除特定值的节点，并维护树的结构。
• 遍历树：包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历等。

完整代码示例

namespace HelloDotNetGuide.常见算法
{
    public class 二叉搜索树算法
    {
        public static void BinarySearchTreeRun()
        {
            var bst = new BinarySearchTree();

            // 插入一些值到树中
            bst.Insert(50);
            bst.Insert(30);
            bst.Insert(20);
            bst.Insert(40);
            bst.Insert(70);
            bst.Insert(60);
            bst.Insert(80);
            bst.Insert(750);

            Console.WriteLine("中序遍历（打印有序数组）：");
            bst.InorderTraversal();

            Console.WriteLine("\n");

            // 查找某些值
            Console.WriteLine("Search for 40: " + bst.Search(40)); // 输出: True
            Console.WriteLine("Search for 25: " + bst.Search(25)); // 输出: False

            Console.WriteLine("\n");

            // 删除某个值
            bst.Delete(50);
            Console.WriteLine("删除50后：");
            bst.InorderTraversal();
        }
    }

    /// <summary>
    /// 定义二叉搜索树的节点结构
    /// </summary>
    public class TreeNode
    {
        public int Value;
        public TreeNode Left;
        public TreeNode Right;

        public TreeNode(int value)
        {
            Value = value;
            Left = null;
            Right = null;
        }
    }

    /// <summary>
    /// 定义二叉搜索树类
    /// </summary>
    public class BinarySearchTree
    {
        private TreeNode root;

        public BinarySearchTree()
        {
            root = null;
        }

        #region 插入节点

        /// <summary>
        /// 插入新值到二叉搜索树中
        /// </summary>
        /// <param name="value">value</param>
        public void Insert(int value)
        {
            if (root == null)
            {
                root = new TreeNode(value);
            }
            else
            {
                InsertRec(root, value);
            }
        }

        private void InsertRec(TreeNode node, int value)
        {
            if (value < node.Value)
            {
                if (node.Left == null)
                {
                    node.Left = new TreeNode(value);
                }
                else
                {
                    InsertRec(node.Left, value);
                }
            }
            else if (value > node.Value)
            {
                if (node.Right == null)
                {
                    node.Right = new TreeNode(value);
                }
                else
                {
                    InsertRec(node.Right, value);
                }
            }
            else
            {
                //值已经存在于树中，不再插入
                return;
            }
        }

        #endregion

        #region 查找节点

        /// <summary>
        /// 查找某个值是否存在于二叉搜索树中
        /// </summary>
        /// <param name="value">value</param>
        /// <returns></returns>
        public bool Search(int value)
        {
            return SearchRec(root, value);
        }

        private bool SearchRec(TreeNode node, int value)
        {
            // 如果当前节点为空，表示未找到目标值
            if (node == null)
            {
                return false;
            }

            // 如果找到目标值，返回true
            if (node.Value == value)
            {
                return true;
            }

            // 递归查找左子树或右子树
            if (value < node.Value)
            {
                return SearchRec(node.Left, value);
            }
            else
            {
                return SearchRec(node.Right, value);
            }
        }

        #endregion

        #region 中序遍历

        /// <summary>
        /// 中序遍历（打印有序数组）
        /// </summary>
        public void InorderTraversal()
        {
            InorderTraversalRec(root);
        }

        private void InorderTraversalRec(TreeNode root)
        {
            if (root != null)
            {
                InorderTraversalRec(root.Left);
                Console.WriteLine(root.Value);
                InorderTraversalRec(root.Right);
            }
        }

        #endregion

        #region 删除节点

        /// <summary>
        /// 删除某个值
        /// </summary>
        /// <param name="val">val</param>
        public void Delete(int val)
        {
            root = DeleteNode(root, val);
        }

        private TreeNode DeleteNode(TreeNode node, int val)
        {
            if (node == null)
            {
                return null;
            }

            if (val < node.Value)
            {
                node.Left = DeleteNode(node.Left, val);
            }
            else if (val > node.Value)
            {
                node.Right = DeleteNode(node.Right, val);
            }
            else
            {
                // 节点有两个子节点
                if (node.Left != null && node.Right != null)
                {
                    // 使用右子树中的最小节点替换当前节点
                    TreeNode minNode = FindMin(node.Right);
                    node.Value = minNode.Value;
                    node.Right = DeleteNode(node.Right, minNode.Value);
                }
                // 节点有一个子节点或没有子节点
                else
                {
                    TreeNode? temp = node.Left != null ? node.Left : node.Right;
                    node = temp;
                }
            }

            return node;
        }

        /// <summary>
        /// 找到树中的最小节点
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        private TreeNode FindMin(TreeNode node)
        {
            while (node.Left != null)
            {
                node = node.Left;
            }
            return node;
        }

        #endregion
    }
}

输出结果：

数组与搜索树的效率对比

二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

二叉搜索树常见应用

• 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
• 作为某些搜索算法的底层数据结构。
• 用于存储数据流，以保持其有序状态。

C#数据结构与算法实战入门指南

• https://mp.weixin.qq.com/s/XPRmwWmoZa4zq29Kx-u4HA

参考文章

• https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree
• https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_tree_traversal